พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

ทรงสามมิติที่มีฐายเป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน เรียกว่า พีระมิด

        1. การเรียกชื่อพีระมิด

       2. ส่วนประกอบของพีระมิด

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงพีระมิดเอียง         พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน

2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน

3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน เป็นระยะเท่ากัน

4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน

          3.การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด

การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้เสียก่อน

** การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

      3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน

 Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

    

 กำหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียงBC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว  ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC

AB²  +  3² =  5²
AB²  =  5² - 3²
AB²    =  16
 AB    =  4

       ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว

  3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดส่วนสูง

Ex.2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

กำหนดให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง  

BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC 

AB²  =  12² + 5²

AB²     =   144 + 25                                                         
AB²     =   169                                                        
 AB       =   13  

ตอบ  สูงเอียงยาว 13 นิ้ว

      3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กำหนดสูงเอียง

Ex.3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง

วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน

ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง

BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC 

AC² + 5² = 13²
AC²   = 169 - 25                                                       
AC²   = 144                                                       
 AC     = 12

       ตอบ ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว

         4. พื้นที่ผิวของพีระมิด

4.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน) 

หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง

จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม =  × ฐาน × ความสูง  

ดังนั้น สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน =   × ฐาน × สูงเอียง   

* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

จะได้ว่า  

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =  × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

พิสูจน์  

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

=  พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน

= (พื้นที่สามเหลี่ยม1) × จำนวนด้านของฐาน(จำนวนรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของ)ฐาน 

= (1/2   × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน

= 1/2  × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง

↓ 

=   1/2× [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง

     4.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด

ดังนั้น

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

สรุป

1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน =  1/2 × ฐาน × สูงเอียง  

3)  ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =   1/2× ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง          

4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

ตัวอย่างโจทย์ 

Ex.4 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวข้างพีระมิด

วิธีทำ เนื่องจาก          สูตรพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =  1/2 × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

แต่โจทย์ไม่กำหนดความยาวสูงเอียง

ดังนั้น ต้องหาความยาวสูงเอียงก่อน

ขั้นที่ 1 หาสูงเอียง

ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว, และ AB เป็นความสูงเอียง

BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC

AB²  =  12² + 5²  =  144 + 25  =  169
จะได้    AB        =   13            

ดังนั้นสูงเอียงยาว 13 นิ้ว

ขั้นที่ 2 หาพื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =  1/3 × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

ได้พื้นที่ผิวข้างพีระมิด =  × ( 10 + 10 + 10 + 10 ) × 13
=   1/3 × 40 × 13
=  260   ตารางนิ้ว

ตอบ 260 ตารางนิ้ว

          5. ปริมาตรของพีระมิด

ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ

การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย

การหาปริมาตรของพีระมิด ให้ทดลองจากกล่องทรงปริซึม

จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน ×  สูง

เมื่อพีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม

วิธีทำ เนื่องจาก สูตรของปริมาตรพีระมิด =   พื้นที่ฐาน ×สูง เมื่อทำการตวง  จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม ดังนั้น

สูตร ปริมาตรของพีระมิด =  พื้นที่ฐาน  × สูง

Ex.5 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

วิธีทำ

สูตร ปริมาตรของพีระมิด =    พื้นที่ฐาน  × สูง

ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ =    ( ด้าน × ด้าน ) ×  สูง
=    ( 22 × 22 ) ×  15
=  7,260  ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 7,260  ลบ.ซม.

พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

      ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งคู่อยู่ในแนวระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้าน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม

1.              การเรียกชื่อปริซึม



เพิ่มคำอธิบายภาพ



ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

          2. ส่วนประกอบของปริซึม

3. พื้นที่ผิวของปริซึม

     3.1) พื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน   × ความสูง

     3.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

4. ปริมาตรของปริซึม

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน ×  สูง

     ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 จงหาพื้นที่ผิวของแท่งปริซึมสามเหลี่ยมนี้

วิธีทำ 

จากสูตร 

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

ขั้นที่ 1 หาพื้นที่ผิวข้าง

จากสูตร พื้นที่ผิวข้างปริซึม   = ความยาวรอบฐาน × ความสูง

จาก ทบ.ปีกาโกรัส เมื่อพิจารณาที่หน้าตัดแล้ว 

จะได้ว่า ความยาวของหน้าตัด ด้านที่โจทย์ยังไม่ได้กำหนด ยาว = 10 หน่วย

ดังนั้น  พื้นที่ผิวข้างปริซึม =  ( 6 + 8 + 10 )  × 12                     

=   288  ตารางหน่วย

ขั้นที่ 2 หาพื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2 พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม      

= 2  (ฐาน  ×สูง)      
= 1( 6 × 8)   = 48

ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 48 ตารางหน่วย

ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวทั้งหมด

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

= 288 + 48

= 336 ตารางหน่วย

ตอบ 336 ตารางหน่วย

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

           ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม

จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม และรยะทางที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

1. ส่วนประกอบของทรงกลม

2. พื้นที่ผิวของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม =4 (22/7)r²

3. ปริมาตรของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม =  (22/7)r³

เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม

ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 ขันครึ่งทรงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกปากขันได้ยาว 14 นิ้ว ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่าไร

วิธีทำ ขันมีรัศมี 7 นิ้ว

พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = 2 ×22/7 × r²

                                  = 2  ×22  ×7

                                 = 308 ตารางนิ้ว 

ดังนั้น ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่ากับ 308 ตารางนิ้ว

ตอบ 308 ตารางนิ้ว

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

              ทรงสามมิติใดที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกันเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐาน จะได้หน้าตัดเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกทรงสามมิตินี้ว่า ทรงกระบอก

            1. ส่วนประกอบของทรงกระบอก

(ซ้าย คือ ทรงกระบอกตรง, ขวา คือ ทรงกระบอกเอียง)

                                       

  ทรงกระบอกกลวง

2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

2.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป

อธิบายภาพเพิ่มเติม

1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2 ×22/7×rh

2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = r²

2.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2×22/7× rh + 2( r²)

เมื่อ  r  แทนรัศมีของฐาน

และ  h  แทนความสูงทรงกระบอก

       


 3. ปริมาตรของทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน× สูง

หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก =(22/7) r²h

          4. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลวง

เมื่อ r คือรัศมีภายใน

R คือ รัศมีภายนอก

hคือ ส่วนสูง

จะได้ว่า

1) พื้นที่หน้าตัดทั้งสอง  = 2 (  (22/7)R²  – (22/7) r² )

2.พื้นที่ผิวด้านนอก    = 2 (22/7) Rh
3.พื้นที่ผิวด้านภายใน    = 2 (22/7) rh
พื้นที่ผิววงแหวน    = 2 (  (22/7)R²  – (22/7) r² ) +  2 (22/7) Rh  +  2 (22/7) rh

         5. ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง (วงแหวน)

เมื่อ h คือ ส่วนสูงของทรงกระบอกกลวง

r คือ รัศมีภายใน (รัศมีของทรงกระบอกเล็ก)

R คือ รัศมีภายนอก (รัศมีของทรงกระบอกใหญ่)

ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่ - ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก

        (22/7)   R²h - (22/7)r²h 

หรือ ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง   = (22/7) h(R² - r²)

พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

             ทรงสามมิติใดที่มีฐานเป็นรูปวงกลมมียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและเส้นที่เชื่อมต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงเรียกทรงสามมิตินั้นว่า กรวย

1.เส้นที่เชื่อมต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆบนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง คือ สูงเอียง

2.กรวยที่มีสูงเอียงยาวเท่ากันเรียก กรวยตรง

1. ส่วนประกอบของกรวย

2. ความสัมพันธ์ของด้านรัศมี (r) ความสูง (h) และสูงเอียง (l)

ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า

r² + h² = l²

3. พื้นที่ผิวของกรวย

3.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่กรวยออก จะได้ดังรูป

         

 ส่วนของฐาน

พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม ดังนั้น

พื้นที่ฐาน = (22/7)r²

ส่วนของข้างกรวย

เป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

พื้นที่ผิวข้างของกรวย = (22/7)rl

3.2) พื้นที่ผิว

เนื่องจาก พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน

ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย =  (22/7) rl +(22/7) r²   หรือ = (22/7)r(l +r)

ปริมาตรของกรวย

ถ้าลองนำทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว  r   หน่วย  และสูง  h  หน่วย
จะได้ว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร = (22/7) r²h

สร้างกรวยแต่ละอันมีรัศมียาว  r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก และสูง  h  หน่วยเท่ากับส่วนสูงทรงกระบอก

ถ้าตวงทราย 3 กรวยใส่ จะได้เต็มทรงกระบอกพอดี

สรุปได้ว่า ปริมาตรกรวย   = ¹/₃   (22/7)  r²h

เมื่อ r แทนรัศมีกรวย

และ h แทนส่วนสูงของกรวย

ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้

วิธีทำ เนื่องจาก พื้นที่ผิวกรวย = (22/7) rl +  (22/7)r²

ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหา คือ รัศมี และ สูงเอียง (เพื่อจะนำไปแทนค่าลงในสูตรหาพื้นที่ผิวกรวย)

ขั้นที่ 1 หารัศมี

โจทย์กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 ซม.

ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 12 ÷ 2 = 6 ซม.

ขั้นที่ 2 หาสูงเอียง

กำหนดให้สูงเอียง = l ซม. 

จากทบ.ปีทาโกรัส จะได้ว่า

r² + h² = l²

6² + 8² = l²

36 + 64 = l²

l² = 100

ดังนั้น l = 10 ซม.

ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวของกรวย

จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย =  (22/7)r(l +r)

แทนค่าสูตร จะได้ =  × 6 × (10 + 6)

=  ×6× 16

ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย ≈301.71 ตร.ซม.                                             

ตอบ 301.71 ตร.ซม.
อ้างอิง

http://kanchit004.wordpress.com/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B8%A1-3/  เข้าถึงเมื่อวันที่ 11 กันยายน 2554

http://forum.02dual.com/index.php?topic=582.0 เข้าถึงเมื่อวันที่ 11 กันยายน 2554

http://www.thaigoodview.com/lesson/math/hit เข้าถึงเมื่อวันที่ 11 กันยายน 2554