วันอาทิตย์ที่ 11 กันยายน พ.ศ. 2554


พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

ทรงสามมิติที่มีฐายเป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน เรียกว่า พีระมิด
        1. การเรียกชื่อพีระมิด

       2. ส่วนประกอบของพีระมิด

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงพีระมิดเอียง         พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง
1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน
3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน เป็นระยะเท่ากัน
4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
          3.การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด
การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้เสียก่อน
** การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
      3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน
 Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
    










 กำหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียงBC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว  ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2  +  32 =  52
AB2  =  52 - 32
AB2    =  16
 AB    =  4
       ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว
  3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดส่วนสูง
Ex.2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน











กำหนดให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง  
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC 
AB2  =  122 + 52
AB2     =   144 + 25                                                         
AB2     =   169                                                        
 AB       =   13  
ตอบ  สูงเอียงยาว 13 นิ้ว
      3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กำหนดสูงเอียง
Ex.3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง
วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน











ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC 
AC2 + 52 = 132
AC2   = 169 - 25                                                       
AC2   = 144                                                       
 AC     = 12
       ตอบ ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว

         4. พื้นที่ผิวของพีระมิด
4.1) พื้นที่ผิวข้าง












เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป












พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน) 
หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง
จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม =  × ฐาน × ความสูง  
ดังนั้น สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน =   × ฐาน × สูงเอียง   

* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
จะได้ว่า  
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =  × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
พิสูจน์  
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
=  พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน
= (พื้นที่สามเหลี่ยม1) × จำนวนด้านของฐาน(จำนวนรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของ)ฐาน 
= (1/2   × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน
1/2  × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] สูงเอียง
 
=   1/2× [ความยาวรอบฐาน] สูงเอียง
     4.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด
ดังนั้น
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
สรุป
1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด
2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน =  1/2 × ฐาน × สูงเอียง  
3)  ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =   1/2× ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง          
4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
ตัวอย่างโจทย์ 
Ex.4 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวข้างพีระมิด
วิธีทำ เนื่องจาก          สูตรพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =  1/2 × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
แต่โจทย์ไม่กำหนดความยาวสูงเอียง
ดังนั้น ต้องหาความยาวสูงเอียงก่อน
ขั้นที่ 1 หาสูงเอียง











ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว, และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2  =  122 + 52  =  144 + 25  =  169
จะได้   
AB        =   13            
ดังนั้นสูงเอียงยาว 13 นิ้ว
ขั้นที่ 2 หาพื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด =  1/3 × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
ได้พื้นที่ผิวข้างพีระมิด =  × ( 10 + 10 + 10 + 10 ) × 13
=
 
1/3 × 40 × 13
=
  260   ตารางนิ้ว
ตอบ 260 ตารางนิ้ว
          5. ปริมาตรของพีระมิด
ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ
การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย
การหาปริมาตรของพีระมิด ให้ทดลองจากกล่องทรงปริซึม

จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน ×  สูง
เมื่อพีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม


วิธีทำ เนื่องจาก สูตรของปริมาตรพีระมิด =   พื้นที่ฐาน ×สูง เมื่อทำการตวง  จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม ดังนั้น
สูตร ปริมาตรของพีระมิด =  พื้นที่ฐาน  × สูง
Ex.5 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร
วิธีทำ
สูตร ปริมาตรของพีระมิด =    พื้นที่ฐาน  × สูง
ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ =    ( ด้าน × ด้าน ) ×  สูง
=
    ( 22 × 22 ) ×  15
=
  7,260  ลูกบาศก์เซนติเมตร
ตอบ 7,260  ลบ.ซม.
พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

      ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งคู่อยู่ในแนวระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้าน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม
1.              การเรียกชื่อปริซึม

เพิ่มคำอธิบายภาพ









ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน
          2. ส่วนประกอบของปริซึม





3. พื้นที่ผิวของปริซึม
     3.1) พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน   × ความสูง
     3.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
4. ปริมาตรของปริซึม
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน ×  สูง
     ตัวอย่างโจทย์
Ex.1 จงหาพื้นที่ผิวของแท่งปริซึมสามเหลี่ยมนี้









วิธีทำ 
จากสูตร 
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
ขั้นที่ 1 หาพื้นที่ผิวข้าง
จากสูตร พื้นที่ผิวข้างปริซึม   = ความยาวรอบฐาน × ความสูง
จาก ทบ.ปีกาโกรัส เมื่อพิจารณาที่หน้าตัดแล้ว 
จะได้ว่า ความยาวของหน้าตัด ด้านที่โจทย์ยังไม่ได้กำหนด ยาว = 10 หน่วย
ดังนั้น  พื้นที่ผิวข้างปริซึม =  ( 6 + 8 + 10 )  × 12                     
=   288  ตารางหน่วย
ขั้นที่ 2 หาพื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2 พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม      
= 2  (ฐาน  ×สูง)      
= 1(
6 × 8)   = 48
ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 48 ตารางหน่วย
ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวทั้งหมด
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
= 288 + 48
= 336 ตารางหน่วย
ตอบ 336 ตารางหน่วย
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

           ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม
จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม และรยะทางที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม
1. ส่วนประกอบของทรงกลม



2. พื้นที่ผิวของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม =4 (22/7)r2
3. ปริมาตรของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลม =  (22/7)r3
เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม
ตัวอย่างโจทย์
Ex.1 ขันครึ่งทรงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกปากขันได้ยาว 14 นิ้ว ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่าไร
วิธีทำ ขันมีรัศมี 7 นิ้ว
พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = 2 ×22/7 × r2
                                  = 2  ×22  ×7
                                 = 308 ตารางนิ้ว 
ดังนั้น ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่ากับ 308 ตารางนิ้ว
ตอบ 308 ตารางนิ้ว
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

              ทรงสามมิติใดที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกันเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐาน จะได้หน้าตัดเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกทรงสามมิตินี้ว่า ทรงกระบอก
            1. ส่วนประกอบของทรงกระบอก







(ซ้าย คือ ทรงกระบอกตรง, ขวา คือ ทรงกระบอกเอียง)

                                       



  ทรงกระบอกกลวง
2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก
2.1) พื้นที่ผิวข้าง








เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป







อธิบายภาพเพิ่มเติม
1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2 ×22/7×rh
2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = r2
2.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2×22/7× rh + 2( r2)
เมื่อ  r  แทนรัศมีของฐาน
และ  h  แทนความสูงทรงกระบอก



       


 3. ปริมาตรของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน× สูง
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก =(22/7) r2h
          4. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลวง





เมื่อ r คือรัศมีภายใน
R คือ รัศมีภายนอก
hคือ ส่วนสูง
จะได้ว่า
1) พื้นที่หน้าตัดทั้งสอง  = 2 (  (22/7)R2   (22/7) r2 )

2.พื้นที่ผิวด้านนอก    = 2 (22/7) Rh
3.พื้นที่ผิวด้านภายใน
    = 2 (22/7) rh
พื้นที่ผิววงแหวน
    = 2 (  (22/7)R2   (22/7) r2 ) +  2 (22/7) Rh  +  2 (22/7) rh
         5. ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง (วงแหวน)






เมื่อ h คือ ส่วนสูงของทรงกระบอกกลวง
r คือ รัศมีภายใน (รัศมีของทรงกระบอกเล็ก)
R คือ รัศมีภายนอก (รัศมีของทรงกระบอกใหญ่)
ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่ - ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก
        (22/7)   R2h - (22/7)r2h 
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง   = (22/7) h(R2 - r2)
พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

             ทรงสามมิติใดที่มีฐานเป็นรูปวงกลมมียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและเส้นที่เชื่อมต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงเรียกทรงสามมิตินั้นว่า กรวย
1.เส้นที่เชื่อมต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆบนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง คือ สูงเอียง
2.กรวยที่มีสูงเอียงยาวเท่ากันเรียก กรวยตรง
1. ส่วนประกอบของกรวย





2. ความสัมพันธ์ของด้านรัศมี (r) ความสูง (h) และสูงเอียง (l)











ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า
r2 + h2 = l2
3. พื้นที่ผิวของกรวย
3.1) พื้นที่ผิวข้าง










เมื่อคลี่กรวยออก จะได้ดังรูป
         








 ส่วนของฐาน
พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม ดังนั้น
พื้นที่ฐาน = (22/7)r2











ส่วนของข้างกรวย
เป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง
พื้นที่ผิวข้างของกรวย = (22/7)rl
3.2) พื้นที่ผิว
เนื่องจาก พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย =  (22/7) rl +(22/7) r2   หรือ = (22/7)r(l +r)
ปริมาตรของกรวย

ถ้าลองนำทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว  r   หน่วย  และสูง  h  หน่วย
จะได้ว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร =
 (22/7) r2h





สร้างกรวยแต่ละอันมีรัศมียาว  r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก และสูง  h  หน่วยเท่ากับส่วนสูงทรงกระบอก
ถ้าตวงทราย 3 กรวยใส่ จะได้เต็มทรงกระบอกพอดี
สรุปได้ว่า ปริมาตรกรวย   = 1/3   (22/7)  r2h
เมื่อ r แทนรัศมีกรวย
และ h แทนส่วนสูงของกรวย









ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้
วิธีทำ เนื่องจาก พื้นที่ผิวกรวย = (22/7) rl +  (22/7)r2
ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหา คือ รัศมี และ สูงเอียง (เพื่อจะนำไปแทนค่าลงในสูตรหาพื้นที่ผิวกรวย)
ขั้นที่ 1 หารัศมี
โจทย์กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 ซม.
ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 12 ÷ 2 = 6 ซม.
ขั้นที่ 2 หาสูงเอียง









กำหนดให้สูงเอียง = l ซม. 
จากทบ.ปีทาโกรัส จะได้ว่า
r2 + h2 = l2
62 + 82 = l2
36 + 64 = l2
l2 = 100
ดังนั้น l = 10 ซม.
ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวของกรวย
จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย =  (22/7)r(l +r)
แทนค่าสูตร จะได้ =  × 6 × (10 + 6)
=  ×6× 16
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย ≈301.71 ตร.ซม.                                             
ตอบ 301.71 ตร.ซม.
อ้างอิง

http://kanchit004.wordpress.com/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B8%A1-3/  เข้าถึงเมื่อวันที่ 11 กันยายน 2554

http://forum.02dual.com/index.php?topic=582.0 เข้าถึงเมื่อวันที่ 11 กันยายน 2554

http://www.thaigoodview.com/lesson/math/hit เข้าถึงเมื่อวันที่ 11 กันยายน 2554

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น